Question

已知拋物線y²=8x的焦點(diǎn)F與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)重合，它們?cè)诘谝幌笙迌?nèi)的交點(diǎn)為A，且AF與x軸垂直，則橢圓的離心率為（　�。�

• A．

  2

  -1
• B．

  1

  2

• C．

  2

  2

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：根據(jù)拋物線方程為y²=8x，可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（2，0）．再由點(diǎn)A是拋物線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，AF與x軸垂直，可由拋物線方程求出A（2，4），因此橢圓以F（2，0）為右焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)A（2，4），可得關(guān)于a、b的方程組，解之可得a=2

2

+2，最后結(jié)合橢圓的離心率公式，可得該橢圓的離心率．

解答：解：∵拋物線方程為y²=8x，
∴2p=8，

p

2

=2，可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（2，0）
∵A是拋物線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，AF與x軸垂直，可設(shè)A（2，y₀）
∴y₀²=2×8=16，可得y₀=4（舍負(fù)），A的坐標(biāo)為（2，4）
因此橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)以F（2，0）為右焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)A（2，4）
∴

a2-b2=2 2 22 a2 + 42 b2 =1

，解之得a=2

2

±2
因?yàn)閍＞c=2，所以a=2

2

+2
∴橢圓的離心率為e=

c

a

=

2

2 2 +2

=

2

-1
故選A

點(diǎn)評(píng)：本題在橢圓與已知拋物線共焦點(diǎn)的情況下，求橢圓的離心率，著重考查了橢圓的基本概念與簡單幾何性質(zhì)和拋物線的幾何性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．