Question

【題目】已知數(shù)列各項均為正數(shù)， ， ，且對任意恒成立，記的前項和為.

（1）若，求的值；

（2）證明：對任意正實數(shù)， 成等比數(shù)列；

（3）是否存在正實數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列.若存在，求出此時和的表達式；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）存在使數(shù)列為等比數(shù)列，此時， .

【解析】試題分析：（1）根據(jù)， ，且對任意恒成立，代值計算即可．

（2）a1=1，a2=2，且anan+3=an+1an+2對任意n∈N*恒成立，則可得，從而的奇數(shù)項和偶數(shù)項均構(gòu)成等比數(shù)列，即可證明，

（3）在（2）中令，則數(shù)列是首項為3，公比為的等比數(shù)列，從而得到， ．又數(shù)列為等比數(shù)列，解得，∴， ，∴求出此時和的表達式.

試題解析：

解：（1）∵，∴，又∵，∴；

（2）由，兩式相乘得，

∵，∴，

從而的奇數(shù)項和偶數(shù)項均構(gòu)成等比數(shù)列，

設公比分別為，則， ，

又∵，∴，即，

設，則，且恒成立，

數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，問題得證；

（3）在（2）中令，則數(shù)列是首項為3，公比為的等比數(shù)列，

∴

，

且， ， ， ，

∵數(shù)列為等比數(shù)列，∴

即即

解得（舍去），

∴， ，

從而對任意有，

此時， 為常數(shù)，滿足成等比數(shù)列，

當時， ，又，∴，

綜上，存在使數(shù)列為等比數(shù)列，此時， .