Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F₁（2，0），離心率為e．
（1）若e=

2

2

，求橢圓的方程；
（2）設A，B為橢圓上關于原點對稱的兩點，AF₁的中點為M，BF₁的中點為N，若原點O在以線段MN為直徑的圓上．
①證明點A在定圓上；
②設直線AB的斜率為k，若k≥

3

，求e的取值范圍．

Answer 1

（1）由e=

2

2

=

c

a

，c=2，得a=2

2

，b=

a2-c2

=2．
故所求橢圓方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）設A（x₁，y₁），則B（-x₁，-y₁），故M(

x1+2

2

，

y1

2

)，N(

2-x1

2

，-

y1

2

)．
①由題意，得

OM

•

ON

=0．化簡，得

x

21

+

y

21

=4，∴點A在以原點為圓心，2為半徑的圓上．
②設A（x₁，y₁），則

y1=kx1 x 21 a2 + y 21 b2 =1 x 21 + y 21 =4

得到

1

a2

+

k2

b2

=

1

4

(1+k2)．
將e=

c

a

=

2

a

，b2=a2-c2=

4

e2

-4，代入上式整理，得k²（2e²-1）=e⁴-2e²+1；
∵e⁴-2e²+1＞0，k²＞0，
∴2e²-1＞0，
∴e＞

2

2

．
∴k2=

e4-2e2+1

2e2-1

≥3，化簡得

e4-8e2+4≥0 2e2-1＞0

，解之得

1

2

＜e2≤4-2

3

，

2

2

＜e≤

3

-1．
故離心率的取值范圍是(

2

2

，

3

-1]．