Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，圓C：(x＋1)²＋y²＝16，點F(1，0)，E是圓C上的一個動點，EF的垂直平分線PQ與CE交于點B，與EF交于點D.

(1)求點B的軌跡方程；
(2)當點D位于y軸的正半軸上時，求直線PQ的方程；
(3)若G是圓C上的另一個動點，且滿足FG⊥FE，記線段EG的中點為M，試判斷線段OM的長度是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

Answer 1

（1）＝1（2）x－2y＋4＝0（3）

(1)連結BF，由已知BF＝BE，所以BC＋BF＝BC＋BE＝CE＝4，
所以點B的軌跡是以C、F為焦點，長軸為4的橢圓，所以B點的軌跡方程為＝1.
(2)當點D位于y軸的正半軸上時，因為D是線段EF的中點，O為線段CF的中點，所以CE∥OD，且CE＝2OD，所以E、D的坐標分別為(－1，4)和(0，2)．
因為PQ是線段EF的垂直平分線，所以直線PQ的方程為y＝x＋2，即直線PQ的方程為x－2y＋4＝0.
(3)設點E、G的坐標分別為(x₁，y₁)和(x₂，y₂)，則點M的坐標為，因為點E、G均在圓C上，且FG⊥FE，所以(x₁＋1)²＋＝16，①，(x₂＋1)²＋＝16，②
(x₁－1)(x₂－1)＋y₁y₂＝0，③
所以＋＝15－2x₁，＋＝15－2x₂，x₁x₂＋y₁y₂＝x₁＋x₂－1.所以MO²＝[(x₁＋x₂)²＋(y₁＋y₂)²]＝·[(＋)＋(＋)＋2(x₁x₂＋y₁y₂)]＝[15－2x₁＋15－2x₂＋2(x₁＋x₂－1)]＝7，即M點到坐標原點O的距離為定值，且定值為.