Question

（本題18分，第（1）小題4分；第（2）小題6分；第（3）小題8分）

如圖，已知橢圓E：，焦點(diǎn)為、，雙曲線G：的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)是雙曲線G上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線、與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D，已知三角形的周長(zhǎng)等于，橢圓四個(gè)頂點(diǎn)組成的菱形的面積為.

（1）求橢圓E與雙曲線G的方程；

（2）設(shè)直線、的斜率分別為和，探求和的關(guān)系；

（3）是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，試求出的值；若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

 （1）由題意知，橢圓中 

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為            

又頂點(diǎn)與焦點(diǎn)重合，所以；   

所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。     

（2）設(shè)點(diǎn)       

     

在雙曲線上，所以

        所以    

（3）設(shè)直線AB：    

由方程組得  

設(shè)

所以         

由弦長(zhǎng)公式   

同理      

由代入得      

    

所以存在使得成立