Question

【題目】已知數(shù)列中，．

(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(3)設(shè)，若對(duì)任意，有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】分析：第一問將，變形為，利用等比數(shù)列的定義即可證明；第二問根據(jù)第一問的結(jié)論可以得出，之后應(yīng)用累加法求得，一定不要忘記對(duì)首項(xiàng)的驗(yàn)證；第三問對(duì)相應(yīng)的項(xiàng)進(jìn)行裂項(xiàng)，之后求和，再利用數(shù)列的單調(diào)性，不等式的解法即可得出結(jié)果.

詳解：(1)證明： ，．

， ， ．

∴數(shù)列是首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列.

(2)是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，通項(xiàng)，

故

，當(dāng)時(shí)， 符合上式，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .

(3)解： ，

故，又因?yàn)閧Sn}單調(diào)遞增，所以Sn的最小值為S1=，成立，

由已知，有，解得，所以的取值范圍為．