Question

【題目】如圖所示，△ABC內接于圓O，D是 的中點，∠BAC的平分線分別交BC和圓O于點E，F． （Ⅰ）求證：BF是△ABE外接圓的切線；
（Ⅱ）若AB=3，AC=2，求DB2﹣DA2的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設△ABE外接圓的圓心為O′，連結BO′并延長交圓O′于G點，連結GE， 則∠BEG=90°，∠BAE=∠BGE．
因為AF平分∠BAC，
所以 ，
所以∠FBE=∠BAE，
所以∠FBG=∠FBE+∠EBG=∠BGE+∠EBG=180°﹣∠BEG=90°，
所以O′B⊥BF，
所以BF是△ABE外接圓的切線
（Ⅱ）連接DF，則DF⊥BC，
所以DF是圓O的直徑，
因為BD2+BF2=DF2 ， DA2+AF2=DF2 ，
所以BD2﹣DA2=AF2﹣BF2 ．
因為AF平分∠BAC，
所以△ABF∽△AEC，
所以 = ，
所以ABAC=AEAF=（AF﹣EF）AF，
因為∠FBE=∠BAE，
所以△FBE∽△FAB，從而BF2=FEFA，
所以AB﹣AC=AF2﹣BF2 ，
所以BD2﹣DA2=ABAC=6

【解析】（Ⅰ）設△ABE外接圓的圓心為O′，連結BO′并延長交圓O′于G點，連結GE，則∠BEG=90°，∠BAE=∠BGE，可證∠FBE=∠BAE，進而證明∠FBG=90°，即可得證BF是△ABE外接圓的切線．（Ⅱ）連接DF，則DF⊥BC，由勾股定理可得BD2﹣DA2=AF2﹣BF2 ， 利用相似三角形的性質可得ABAC=AEAF=（AF﹣EF）AF，由△FBE∽△FAB，從而BF2=FEFA，得AB﹣AC=AF2﹣BF2 ， 進而可求BD2﹣DA2=ABAC=6．