Question

已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切，分別是橢圓的左右兩個(gè)頂點(diǎn)， 為橢圓上的動(dòng)點(diǎn).
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）為過(guò)且垂直于軸的直線上的點(diǎn)，若，求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線．

Answer 1

（Ⅰ）由題意可得圓的方程為，
∵直線與圓相切，∴，即，       
又，即，，解得，，
所以橢圓方程為．                                 
（Ⅱ）設(shè)，其中．
由已知及點(diǎn)在橢圓上可得，
整理得，其中．           
①當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得，
所以點(diǎn)的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于軸的線段；
②當(dāng)時(shí)，方程變形為，其中，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在軸上的雙曲線滿足的部分；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在軸上的橢圓滿足的部分；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在軸上的橢圓．

略