Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（Ⅰ）試判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析； (Ⅱ)

【解析】

（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后對(duì)a分類，當(dāng)a≤0時(shí)，＜0，f（x）為R上的減函數(shù)；當(dāng)a＞0時(shí)，由導(dǎo)函數(shù)為0求得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，再由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在各段內(nèi)的符號(hào)得到原函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）分離參數(shù)t，可得恒成立．令，則問題等價(jià)于求解函數(shù)g（x）的最小值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析求解函數(shù)g（x）的最小值得答案．

（Ⅰ）由題可得函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，

則不等式可化為，

因?yàn)椴坏仁?/span>恒成立，所以原問題可轉(zhuǎn)化為．

設(shè)，顯然函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，

令，則恒成立，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，所以，

故實(shí)數(shù)的取值范圍為．