Question

【題目】已知橢圓的一個焦點為，且離心率為．

（1）求橢圓方程；

（2）斜率為的直線過點，且與橢圓交于兩點， 為直線上的一點，若△為等邊三角形，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線的方程為，或.

【解析】試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程以及幾何性質、直線與橢圓相交問題、韋達定理、兩點間距離公式、直線的方程等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力.第一問，利用橢圓的標準方程中a,b,c的關系，焦點坐標，離心率列出方程組，解出a和b，從而得到橢圓的標準方程；第二問，點斜式設出直線方程，由于直線與橢圓交于A，B，則直線與橢圓方程聯立消參得到關于x的方程，設出A，B點坐標，利用韋達定理，得到， ，再結合兩點間距離公式求出的長，利用中點坐標公式得出AB中點M的坐標，從而求出|MP|的長，利用為正三角形，則，列出等式求出k的值，從而得到直線的方程.

（1）依題意有， ．

可得， ．

故橢圓方程為． ５分

（2）直線的方程為．

聯立方程組

消去并整理得．

設， ．

故， ．

則．

設的中點為．

可得， ．

直線的斜率為，又，

所以．

當△為正三角形時，，

可得，

解得．

即直線的方程為，或． 13分