Question

已知橢圓的右焦點為F，A為短軸的一個端點，且，的面積為1（其中為坐標原點）.
（1）求橢圓的方程；
（2）若C、D分別是橢圓長軸的左、右端點，動點M滿足，連結CM，交橢圓于點，證明：為定值；
（3）在（2）的條件下，試問軸上是否存在異于點C的定點Q，使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

(1).（2）見解析；(3)存在，使得以為直徑的圓恒過直線、的交點.

試題分析：(1)由已知:,可得,,可得橢圓方程為.
（2）由（1）知，設.根據知.
由消去,整理得:,
應用韋達定理得
利用平面向量的坐標運算即得(定值).
(3)以為直徑的圓恒過的交點,
由，建立Q坐標的方程.
試題解析：(1)由已知:,,,
所以橢圓方程為.          4分
（2）由（1）知，.
由題意可設.

由消去,整理得:,

.,

(定值).    9分
(3)設.
若以為直徑的圓恒過的交點,
則.
由(2)可知:,
,
即恒成立,
∴存在，使得以為直徑的圓恒過直線、的交點.          13分