Question

（本小題滿分14分）已知區域的外接圓C與x軸交于點A₁、A₂，橢圓C₁以線段A₁A₂為長軸，離心率．
⑴求圓C及橢圓C₁的方程；
⑵設圓與軸正半軸交于點D，點為坐標原點，中點為，問是否存在直線與橢圓交于兩點，且？若存在，求出直線與夾角的正切值的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

，

解：⑴由題意可知，區域是以及點為頂點的三角形，
∵，∴為直角三角形．                         ……2分
∴外接圓C以原點O為圓心，線段A₁A₂為直徑，故其方程為．
∵2a=4，∴a=2．
又，∴，可得．
∴所求橢圓C₁的方程是．                                                                ……6分
⑵點坐標為，故點坐標為，顯然可滿足要求；時不滿足題意．                                                              ……8分
當時，設的方程為，
由，得，
由，得；            ……10分
設，的中點為，
則．
，即，解得．
……12分
，得．
綜上，直線與夾角的正切值的取值范圍是．         ……14分