Question

如圖，是△的重心，、分別是邊、上的動點，且、、三點共線．
（1）設，將用、、表示；
（2）設，，證明：是定值；
（3）記△與△的面積分別為、．求的取值范圍．
（提示：

Answer 1

（1）． （2）（定值）．（3）的取值范圍

第一問中利用（1）

第二問中，由（1），得；①
另一方面，∵是△的重心，
∴
而、不共線，∴由①、②，得
第三問中，
由點、的定義知，，
且時，；時，．此時，均有．
時，．此時，均有．
以下證明：，結合作差法得到。
解：（1）
．
（2）一方面，由（1），得；①
另一方面，∵是△的重心，
∴． ②
而、不共線，∴由①、②，得 
解之，得，∴（定值）．
（3）．
由點、的定義知，，
且時，；時，．此時，均有．
時，．此時，均有．
以下證明：．（法一）由（2）知，
∵，∴．
∵，∴．
∴的取值范圍