Question

醫學上為研究傳染病中病毒細胞的發展規律及其預防，將病毒細胞注入一只小白鼠體內進行實驗．經檢測，小白鼠體內病毒細胞數與天數的關系記錄如下表．已知該種病毒細胞在小白鼠體內的個數超過10⁸的時候小白鼠將死亡，但注射某種藥物，將即刻殺死其體內該病毒細胞的98％．實驗開始的那一天記為第1天，如果第k天小白鼠存活而第k+1天小白鼠死亡，我們將第k天稱為小白鼠的“注射極限日”．

　　問：(1)當第1天小白鼠體內有了一個病毒細胞后，那么必定有第k₁天是它的“注射極限日”，試求k₁的值(lg2=0.3)；

　　(2)如果在第1天到第k₁天這k₁天中的某一天給小白鼠注射藥物，那么，在第k₁+1天小白鼠仍會存活，但一定存在第k₂天又是它的“注射極限日”，k₂的值與上一次給小白鼠注射的時間有關嗎?請證明你的結論．

天數/天	1	2	3	4	5	6	…
病毒細胞數/個	1	2	4	8	16	32	……

Answer 1

答案：
解析：

由記錄知病毒細胞數與天數的關系構成一個等比數列．

　　(1)由已知得≤10⁸，兩邊取對數得k₁-1≤81og₂10，解之得k₁≈26.7

　　因為k₁∈N*，所以k₁=27天

　　即實驗開始后的第27天為“注射極限日”

　　(2)設在第p₁(1≤p₁≤27)天給小白鼠注射藥物

　　則(1-98％)×≤10⁸

　　即k₂-p₁≤log₂≈32.3

　　而1≤p₁≤27

　　故k₂的值與上一次給小白鼠注射的時間無關