Question

【題目】已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓，離心率，且橢圓過點.

(1)求橢圓的方程；

(2)設橢圓左、右焦點分別為，過的直線與橢圓交于不同的兩點，則的內切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（1）；（2）， .

【解析】試題分析：（1）本問主要考查待定系數法求橢圓標準方程，首先設橢圓方程為，然后根據條件列方程組，求解后即得到橢圓標準方程；（2）本問主要考查直線與橢圓的綜合問題，分析可知，內切圓面積最大時即為內切圓半徑最大， 的面積可以表示為，由橢圓定義可知的周長為定值，這樣的面積轉化為，然后再根據直線與橢圓的位置關系， 的面積表示為，這樣可以聯立直線方程與橢圓方程，消去未知數，得到關于的一元二次方程，根據韋達定理，表示出，最后轉化為關于的函數，即可求出最值.

試題解析：（Ⅰ）由題意可設橢圓方程為．

則，

解得： 橢圓方程為，

（Ⅱ）設，不妨，設的內切圓的半徑，

則的周長為因此最大，

就最大，

由題知，直線 的斜率不為零，可設直線的方程為，

由得，

得 .

則，

令，可知，則 ，

令，則，當時， ， 在上單調遞增，有，

即當時， ，這時所求內切圓面積的最大值為．

故直線內切圓面積的最大值為.