Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，焦距為.

（1）求的方程；

（2）若斜率為的直線與橢圓交于，兩點（點，均在第一象限），為坐標原點.

①證明：直線的斜率依次成等比數列.

②若與關于軸對稱，證明：.

Answer 1

【答案】（1）； （2）①見解析；②見解析.

【解析】

（1）根據離心率、焦距和可解出，從而得到橢圓方程；（2）①設直線的方程為：，，，將直線方程與橢圓方程聯立可得韋達定理的形式，從而求得；整理可知：，從而證得結論；②與關于軸對稱可知，由①知，則，利用兩角和差正切公式展開整理，根據基本不等式求得最小值，經驗證等號無法取得，從而證得結論.

（1）由題意可得：，解得：

橢圓的方程為：

（2）證明：①設直線的方程為：，，

由消去得：

則，且，

即直線的斜率依次成等比數列

②由題可知：

由①可知：，，

若，則兩點重合，不符合題意；可知無法取得等號