Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＜b＜0)的左、右焦點分別為F₁，F₂點A在橢圓C上，

.

AF1

•

F1F2

=0，3|

.

AF2

|•|F1A|=-5

.

AF2

•

F1A

，|

.

F1F2

|=2，過點F₂且與坐標軸不垂直的直線交橢圓于P，Q兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）線段OF₂上是否存在點M（m，0），使得

.

OP

•

.

MP

=

.

PQ

•

MQ

？若存在，求出實數m 的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用

AF1

•

F1F2

=0，可得∠AF₁F₂=90°．由已知3|

AF2

| |

F1A

|=-5

AF2

•

F1A

，利用夾角公式可得cos∠F₁AF₂=

3

5

．又|

F1F2

|=2，解得|

AF1

|，|

AF2

|．即可得到2a=|

AF1

|+|

AF2

|=4，c=1，即可得到b²=a²-c²，進而得到橢圓方程；
（II）存在這樣的點M符合題意．設線段PQ的中點為N，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），直線PQ的斜率為k（k≠0），注意到F₂（1，0），則直線PQ的方程為y=k（x-1），與橢圓方程聯立得到根與系數的關系，利用中點坐標公式即可得到點N，再利用向量

QP

•

MP

=

PQ

•

MQ

可得

PQ

•(

MP

+

MQ

)=2

PQ

•

MN

=0，因此PQ⊥MN，利用k•k_MN=-1即可得到m與k的關系．

解答：解：（Ⅰ）∵

AF1

•

F1F2

=0，∴∠AF₁F₂=90°．
∵3|

AF2

| |

F1A

|=-5

AF2

•

F1A

，∴cos∠F₁AF₂=

3

5

．
又|

F1F2

|=2，解得|

AF1

|=

3

2

，|

AF2

|=

5

2

．
∴2a=|

AF1

|+|

AF2

|=4，
∴a=2，c=1，b²=a²-c²=3，
即所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ） 存在這樣的點M符合題意．
設線段PQ的中點為N，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），
直線PQ的斜率為k（k≠0），
注意到F₂（1，0），則直線PQ的方程為y=k（x-1），
由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

消去y得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
所以x1+x2=

8k2

4k2+3

，
故x0=

x1+x2

2

=

4k2

4k2+3

，y₀=k（x₀-1）=

-3k

4k2+3

．
又點N在直線PQ上，所以N(

4k2

4k2+3

，

-3k

4k2+3

)，
由

QP

•

MP

=

PQ

•

MQ

可得

PQ

•(

MP

+

MQ

)=2

PQ

•

MN

=0，
∴PQ⊥MN，∴k_MN=

0+ 3k 4k2+3

m- 4k2 4k2+3

=-

1

k

，
整理得m=

k2

4k2+3

=

1

4+ 3 k2

∈(0，

1

4

)，
所以，在線段OF₂上存在點M（m，0）符合題意，其中m∈(0，

1

4

)．

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為根與系數的關系、中點坐標公式、向量的數量積運算等基礎知識與基本技能，考查了推理能力和計算能力．