Question

【題目】設函數．

①若有兩個零點，則實數的取值范圍是 ___________;

②若，則滿足 的的取值范圍是 _________________．

Answer 1

【答案】

【解析】①若a=0，則，

由f（x）=0，可得x=0，x=﹣，符合題意；

若a＜0，x=0符合題意；

若x=﹣符合題意，則a＞﹣，即為﹣＜a＜0；

若a＞0，則x=0和x=﹣符合題意，可得a≤，

綜上可得，a的范圍是（﹣，]；

②若x＜a≤﹣2，則x﹣1＜a﹣1≤﹣3，

f（x）的導數為3x2﹣3＞0，

可得f（x）＜f（﹣2）=﹣2，f（x﹣1）＜﹣27+9=﹣18，

即有f（x）+f（x﹣1）＜﹣30，不符題意；

則x≥a，若x﹣1≥a，f（x）+f（x﹣1）＞﹣3，

即為x+x﹣1＞﹣3，解得x＞﹣1；

若a﹣1≤x﹣1＜a，f（x）+f（x﹣1）＞﹣3，

即為x+（x﹣1）3﹣3（x﹣1）＞﹣3，

化為x3﹣3x2+x+5＞0，

由于a≤﹣2，且a≤x＜a+1，

可得g（x）=x3﹣3x2+x+5的導數g′（x）=3x2﹣6x+1＞0，

即g（x）在[a，a+1）遞增，g（a）取得最小值，且為a3﹣3a2+a+5，

且a3﹣3a2+a+5，

而在a≤﹣2時，a3﹣3a2+a+5遞增，且為負值，不符題意．

綜上可得a的范圍是（﹣1，+∞）．

故填，（﹣1，+∞）．