Question

已知函數f（x）=-x³+ax²-4，（a∈R）
（Ⅰ）若y=f（x）的圖象在點P（1，f（1））處的切線的傾斜角為

π

4

，求a；
（Ⅱ）設f（x）的導函數是f′（x），在（Ⅰ）的條件下，若m，n∈[-1，1]，求f（m）+f′（n）的最小值．
（Ⅲ）若存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導數的幾何意義，k=f′（1）求解即可；
（2）要求f（m）+f′（n）的最小值，只需求f（m）和f′（n）的最小值，從而轉化為求f（x）在[-1，1]上的最小值和f′（x）在[-1，1]上的最小值，按求函數最值的步驟求解即可．
（3）存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞0，即f（x）在（0，+∞）上的最大值大于0，故先求導，然后分a＞0和a≤0兩種情況分別討論f（x）在（0，+∞）上的最大值情況即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=-3x²+2ax（1分），
由已知f′(x)=tan

π

4

=1，即-3+2a=1（2分），
∴a=2（3分）；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=-x³+2x²-4（4分），
f′(x)=-3x2+4x=-3x(x-

4

3

)（5分），
x∈[-1，1]時，如下表：
（7分）
可見，n∈[-1，1]時，f′（x）最小值為f′（-1）=-7，
m∈[-1，1]時，f（m）最小值為f（0）=-4，
∴f（m）+f′（n）的最小值為-11（10分）；

（Ⅲ）∵f′(x)=-3x(x-

2a

3

)，
（1）若a≤0，當x＞0時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）單減，
又由f（0）=-4，則x＞0時f（x）＜-4，
∴當x≤0時，不存在x₀＞0使f（x₀）＞0（11分）；
（2）若a＞0時，
當0＜x＜

2a

3

時，f′(x)＞0．當x＞

2a

3

時，f′(x)＜0，
∴f（x）在(0，

2a

3

]上單增，在[

2a

3

，+∞)單減；
∴x∈（0，+∞）時，f(x)max=f(

2a

3

)=

4a3

27

-4（12分），
由已知，必須

4a3

27

-4＞0∴a3＞27，
∴a＞3，
即a＞3時，存在x₀∈（0，+∞）使f（x₀）＞0．

點評：本題考查了導數的運算，導數的幾何意義，利用導數求函數的最值等知識點，涉及了分類討論的數學思想，綜合性較強，難度較大．