Question

有一種舞臺燈，外形是正六棱柱，在其每一個側面（編號為①②③④⑤⑥）上安裝5只顏色各異的燈，假若每只燈正常發光的概率為0.5．若一個側面上至少有3只燈發光，則不需要更換這個面，否則需要更換這個面，假定更換一個面需要100元，用ξ表示更換費用．
（1）求①號面需要更換的概率；
（2）求6個面中恰好有2個面需要更換的概率；
（3）寫出ξ的分布列，并求ξ的數學期望．

Answer 1

分析：（1）根據所給的條件可以判斷本題是一個獨立重復試驗，由題意知①號面不需要更換的對立事件是①號面需要更換，根據對立事件的概率得到結果．
（2）由題意知本題滿足獨立重復試驗，根據獨立重復試驗，得到6個面中恰好有2個面需要更換的概率．
（3）由題意知本題的變量符合二項分布，結合二項分布的概率公式得到分布列和期望，用公式來解比用一般的方法要簡單得多．

解答：解：（1）由題意知①號面不需要更換的對立事件是①號面需要更換，
∵①號面不需要更換的概率為

C 3 5 + C 4 5 + C 5 5

25

=

1

2

，
∴①號面需要更換的概率為P=1-

1

2

=

1

2

．
（2）根據獨立重復試驗，6個面中恰好有2個面需要更換的概率為
P6(2)=

C

2 6

(

1

2

)2(

1

2

)4=

C 2 6

26

=

15

64

．
（3）∵ξ～B(6，

1

2

)，
又P6(0)=

C 0 6

26

=

1

64

，P6(1)=

C 1 6

26

=

3

32

，
P6(2)=

C 2 6

26

=

15

64

，P6(3)=

C 3 6

26

=

5

16

，
P6(4)=

C 4 6

26

=

15

64

，P6(5)=

C 5 6

26

=

3

32

，
P6(6)=

C 6 6

26

=

1

64

，
∴維修一次的費用ξ的分布為：

∵ξ～B(6，

1

2

)，
∴Eξ=100×6×

1

2

=300元．

點評：本題考查運用概率知識解決實際問題的能力，注意滿足獨立重復試驗的條件，解題過程中判斷概率的類型是難點也是重點，這種題目高考必考，應注意解題的格式．