【題目】已知函數f（x）=ex﹣ax，a＞0．
（1）記f（x）的極小值為g（a），求g（a）的最大值；
（2）若對任意實數x恒有f（x）≥0，求f（a）的取值范圍．
【答案】
（1）解：函數f（x）的定義域是（﹣∞，+∞），f'（x）=ex﹣a，
令f'（x）＞0，得x＞lna，所以f（x）的單調遞增區間是（lna，+∞）；
令f'（x）＜0，得x＜lna，所以f（x）的單調遞減區間是（﹣∞，lna），
函數f（x）在x=lna處取極小值，
g'（a）=1﹣（1+lna）=﹣lna，
當0＜a＜1時，g'（a）＞0，g（a）在（0，1）上單調遞增；
當a＞1時，g'（a）＜0，g（a）在（1，+∞）上單調遞減，
所以a=1是函數g（a）在（0，+∞）上唯一的極大值點，也是最大值點，
所以g（a）max=g（1）=1
（2）解：當x≤0時，a＞0，ex﹣ax≥0恒成立，
當x＞0時，f（x）≥0，即ex﹣ax≥0，即 
令 
，
當0＜x＜1時，h'（x）＜0，當x＞1時，h'（x）＞0，
故h（x）的最小值為h（1）=e，
所以a≤e，故實數a的取值范圍是（0，e]
f（a）=ea﹣e2，a∈（0，e]，f'（a）=ea﹣2a，由上面可知ea﹣2a≥0恒成立，
故f（a）在（0，e]上單調遞增，所以f（0）=1＜f（a）≤f（e）=ee﹣e2，
即f（a）的取值范圍是（1，ee﹣e2]
【解析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極小值g（a）的表達式，根據函數的單調性求出g（a）的最大值即可；（2）通過討論x的范圍，問題轉化為 ，根據函數的單調性求出f（a）的范圍即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的極值與導數的相關知識，掌握求函數
的極值的方法是:（1）如果在
附近的左側
,右側
,那么
是極大值（2）如果在附近的左側
,右側
,那么
是極小值，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在
上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在
內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值
，
比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，
.
（1）證明函數
為奇函數；
（2）判斷函數的單調性（無需證明），并求函數的值域；
（3）是否存在實數
，使得
的最大值為
？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（題文）某班同學利用國慶節進行社會實踐，對
歲的人群隨機抽取
人進行了一次生活習慣是否符合低碳觀念的調查，若生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統計表和各年齡段人數頻率分布直方圖：
（1）補全頻率分布直方圖并求、
、
的值；
（2）從
歲年齡段的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取
人參加戶外低碳體驗活動，其中選取
人作為領隊，記選取的名領隊中年齡在
歲的人數為
，求的分布列和期望
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一個直角三角形的三個頂點分別在底面棱長為2的正三棱柱的側棱上，則該直角三角形斜邊的最小值為__________．
【答案】
【解析】
如圖，不妨設
在
處， 
，
則有
由
該直角三角形斜邊
故答案為
.
【題型】填空題
【結束】
16
【題目】已知函數f（x）＝
，g（x）＝
，若函數y＝f（g（x））＋a有三個不同的零點x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3），則2g（x1）＋g（x2）＋g（x3）的取值范圍為______．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】小明在石家莊市某物流派送公司找到了一份派送員的工作，該公司給出了兩種日薪薪酬方案．甲方案：底薪100元，每派送一單獎勵1元；乙方案：底薪140元，每日前55單沒有獎勵，超過55單的部分每單獎勵12元．
（Ⅰ）請分別求出甲、乙兩種薪酬方案中日薪y（單位：元）與送貨單數n的函數關系式；
（Ⅱ）根據該公司所有派送員100天的派送記錄，發現派送員的日平均派送單數滿足以下條件：在這100天中的派送量指標滿足如圖所示的直方圖，其中當某天的派送量指標在（
，
]（n＝1，2，3，4，5）時，日平均派送量為50＋2n單．若將頻率視為概率，回答下列問題：
①根據以上數據，設每名派送員的日薪為X（單位：元），試分別求出甲、乙兩種方案的日薪X的分布列，數學期望及方差；
②結合①中的數據，根據統計學的思想，幫助小明分析，他選擇哪種薪酬方案比較合適，并說明你的理由。
（參考數據：0．62＝0．36，1．42＝1．9 6，2．6 2＝6．76，3．42＝1 1．56，3．62＝12．96，4．62＝21．16，15．62＝243．36，20．42＝416．16，44．42＝1971．36）
【答案】（Ⅰ）甲方案的函數關系式為： 
，乙方案的函數關系式為：
；（Ⅱ）①見解析，②見解析.
【解析】
（Ⅰ）由題意可得甲方案中派送員日薪
（單位：元）與送單數
的函數關系式為： ， 乙方案中派送員日薪（單位：元）與送單數的函數關系式為：.
（Ⅱ）①由題意求得X的分布列，據此計算可得
，
，
.
②答案一：由以上的計算可知，
遠小于
，即甲方案日工資收入波動相對較小，所以小明應選擇甲方案.
答案二：由以上的計算結果可以看出，
，所以小明應選擇乙方案.
（Ⅰ）甲方案中派送員日薪（單位：元）與送單數的函數關系式為： ，
乙方案中派送員日薪（單位：元）與送單數的函數關系式為：
（Ⅱ）①由已知，在這100天中，該公司派送員日平均派送單數滿足如下表格：
單數 | 52 | 54 | 56 | 58 | 60 |
頻率 | 0.2 | 0.3 | 0.2 | 0.2 | 0.1 |
所以
的分布列為：
| 152 | 154 | 156 | 158 | 160 |
| 0.2 | 0.3 | 0.2 | 0.2 | 0.1 |
所以
所以
的分布列為：
| 140 | 152 | 176 | 200 |
| 0.5 | 0.2 | 0.2 | 0.1 |
所以
②答案一：由以上的計算可知，雖然，但兩者相差不大，且遠小于，即甲方案日工資收入波動相對較小，所以小明應選擇甲方案.
答案二：由以上的計算結果可以看出，，即甲方案日工資期望小于乙方案日工資期望，所以小明應選擇乙方案.
【點睛】
本題主要考查頻率分布直方圖，數學期望與方差的含義與實際應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.
【題型】解答題
【結束】
20
【題目】已知橢圓C：
（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，且離心率為
，M為橢圓上任意一點，當∠F1MF2＝90°時，△F1MF2的面積為1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點A是橢圓C上異于橢圓頂點的一點，延長直線AF1，AF2分別與橢圓交于點B，D，設直線BD的斜率為k1，直線OA的斜率為k2，求證：k1·k2等于定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一次考試共有10道選擇題，每道選擇題都有4個選項，其中有且只有一個是正確的．評分標準規定：“每題只選一個選項，答對得5分，不答或答錯得零分”．某考生已確定有7道題的答案是正確的，其余題中：有一道題都可判斷兩個選項是錯誤的，有一道題可以判斷一個選項是錯誤的，還有一道題因不理解題意只好亂猜．試求出該考生：
（Ⅰ）得50分的概率；
（Ⅱ）所得分數
的數學期望（用小數表示，精確到0.01k^s*5#u）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=2cos2ωx+2 
sinωxcosωx﹣1，且f（x）的周期為2．
（Ⅰ）當 
時，求f（x）的最值；
（Ⅱ）若 
，求 
的值．
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