Question

如圖，平面內的定點F到定直線l的距離為2，定點E滿足：||=2且EF⊥l于G，點Q是直線l上一動點，點M滿足=0．
（1）建立適當的直角坐標系，求動點P的軌跡方程；
（2）若經過點E的直線l₁與點P的軌跡交于相異兩點A、B，令∠AFB=θ，當π≤θ＜π時，求直線l₁的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）以FG的中點O為原點，以EF所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，設出動點P的坐標，求出的坐標，由求出Q，M的坐標，由列式求出P點的軌跡；
（2）設出直線l₁ 的方程，和拋物線方程聯立后化為關于x的一元二次方程，利用根與系數關系得到兩交點橫坐標的和與積，進一步得到縱坐標的和與積，然后把的數量積與模用含有k的代數式表示，代入向量夾角公式后可求值．
解答：解：（1）以FG的中點O為原點，以EF所在直線為y軸，建立平面直角坐標系
xoy，設點P（x，y），則F（0，1），E（0，3），l：y=-1
∵，∴
∵，∴．
即所求點P軌跡方程x²=4y；
（2）設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）
設直線l₁的方程為y=kx+3（k≠0）．
由，得x²-4kx-12=0
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-12
∴

∵，
∴
=x₁x₂+y₁y₂-（y₁+y₂）+1
=-12+9-4k²-6+1
=-4k²-8．

=
∴
由于，
∴，即．
∴，∴，解得或．
∴直線l₁ 的斜率k的取值范圍是{k|或}．
點評：本題考查了直線的斜率，考查了與直線有關的動點軌跡方程問題，訓練了平面向量在解題中的應用，利用根與系數關系解題是處理該題的關鍵，考查了學生的計算能力，是難題．