Question

（2006•海淀區二模）如圖，平面內的定點F到定直線l的距離為2，定點E滿足：|

EF

|=2且EF⊥l于G，點Q是直線l上一動點，點M滿足

FM

=

MQ

，點P滿足

PQ

∥

EF

，

PM

•

FQ

=0．
（1）建立適當的直角坐標系，求動點P的軌跡方程；
（2）若經過點E的直線l₁與點P的軌跡交于相異兩點A、B，令∠AFB=θ，當

3

4

π≤θ＜π時，求直線l₁的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）以FG的中點O為原點，以EF所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，設出動點P的坐標，求出

FM

，

MQ

，

PQ

，

EF

的坐標，由

FM

=

MQ

，

PQ

∥

EF

求出Q，M的坐標，由

PM

•

FQ

=0列式求出P點的軌跡；
（2）設出直線l₁ 的方程，和拋物線方程聯立后化為關于x的一元二次方程，利用根與系數關系得到兩交點橫坐標的和與積，進一步得到縱坐標的和與積，然后把

FA

，

FB

的數量積與模用含有k的代數式表示，代入向量夾角公式后可求值．

解答：解：（1）以FG的中點O為原點，以EF所在直線為y軸，建立平面直角坐標系
xoy，設點P（x，y），則F（0，1），E（0，3），l：y=-1
∵

FM

=

MQ

，

PQ

∥

EF

，∴Q(x，-1)，M(

x

2

，0)
∵

PM

•

FQ

=0，∴(-

x

2

)•x+(-y)•(-2)=0．
即所求點P軌跡方程x²=4y；
（2）設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）
設直線l₁的方程為y=kx+3（k≠0）．
由

y=kx+3 x2=4y

，得x²-4kx-12=0
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-12
∴y1y2=

x 2 1

4

•

x 2 2

4

=(

x1x2

4

)2=9
y1+y2=k(x1+x2)+6=4k2+6
∵

FA

=(x1，y1-1)，

FB

=(x2，y2-1)，
∴

FA

•

FB

=x1x2+(y1-1)(y2-1)
=x₁x₂+y₁y₂-（y₁+y₂）+1
=-12+9-4k²-6+1
=-4k²-8．
又∵|

FA

|•|

FB

|=(y1+1)(y2+1)
=y1y2+(y1+y2)+1=9+4k2+6+1=4k2+16
∴cosθ=

FA • FB

| FA |•| FB |

=

-4k2-8

4k2+16

=-

k2+2

k2+4

由于

3π

4

≤θ＜π，
∴-1＜cosθ≤-

2

2

，即-1＜

k2+2

k2+4

≤-

2

2

．
∴

k2+2

k2+4

≥

2

2

，∴k2≥2

2

，解得k≥

4	8

或k≤-

4	8

．
∴直線l₁ 的斜率k的取值范圍是{k|k≥

4	8

或k≤-

4	8

}．

點評：本題考查了直線的斜率，考查了與直線有關的動點軌跡方程問題，訓練了平面向量在解題中的應用，利用根與系數關系解題是處理該題的關鍵，考查了學生的計算能力，是難題．