Question

【題目】已知函數f（x）=（x2﹣ax+a）e﹣x ， a∈R．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）設g（x）=f'（x），其中f'（x）為函數f（x）的導函數．判斷g（x）在定義域內是否為單調函數，并說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）函數f（x）的定義域為R，

其導數f′（x）=﹣（x﹣2）（x﹣a）e﹣x，

①當a＜2時，令f'（x）＜0，解得：x＜a或x＞2，f（x）為減函數，

令f'（x）＞0，解得：a＜x＜2，f（x）為增函數；

②當a=2時，f'（x）=﹣（x﹣2）2e﹣x≤0恒成立，函數f（x）為減函數；

③當a＞2時，令f'（x）＜0，解得：x＜2或x＞a，函數f（x）為減函數；

令f'（x）＞0，解得：2＜x＜a，函數f（x）為增函數；

綜上，

當a＜2時，f（x）的單調遞減區間為（﹣∞，a），（2，+∞）；單調遞增區間為（a，2）；

當a=2時，f（x）的單調遞減區間為（﹣∞，+∞）；

當a＞2時，f（x）的單調遞減區間為（﹣∞，2），（a，+∞）；單調遞增區間為（2，a）；

（2）g（x）在定義域內不為單調函數，

以下說明：g'（x）=f'（x）=[x2﹣（a+4）x+3a+2]e﹣x，

記h（x）=x2﹣（a+4）x+3a+2，則函數h（x）為開口向上的二次函數，

方程h（x）=0的判別式△=a2﹣4a+8=（a﹣2）2+4＞0恒成立，

所以，h（x）有正有負．從而g'（x）有正有負，

故g（x）在定義域內不為單調函數.

【解析】（1）先求得導函數，再根據導函數的特征進行分類討論，進而求得不同情況下函數的單調區間；（2）求得函數g（x）的導函數，其導函數為開口向上的二次函數，故可知函數g（x）在定義域內不為單調函數.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．