Question

【題目】已知函數 .

（1）當時，求函數在點處的切線方程.

（2）求函數的單調區間.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：

（1）函數的定義域，當時，計算可得：，，則切線方程為.

（2），考查二次函數，分類討論：

①若，在上單調遞增，在上單調遞減.

②若，為開口向上的二次函數，兩個零點均在定義域上.則：

（i）若，函數在和上單調遞增，在上單調遞減.

（ii）若，在上單調遞增.

（iii）若，函數在和上單調遞增，在上單調遞減.

試題解析：

（1）函數的定義域，

當時，，，

，∴切線方程為.

（2），

易知，令，

①若，，∴在上單調遞增，在上單調遞減.

②若，為開口向上的二次函數，零點分別為0，，其中，

即的兩個零點均在定義域上.

（i）若，，所以函數在和上單調遞增，在上單調遞減.

（ii）若，，圖象恒在軸上方，恒成立，∴在上單調遞增.

（iii）若，，∴函數在和上單調遞增，在上單調遞減.