Question

【題目】（本小題滿分16分）已知數(shù)列（， ）滿足， 其中， ．

（1）當(dāng)時(shí)，求關(guān)于的表達(dá)式，并求的取值范圍；

（2）設(shè)集合．

①若， ，求證： ；

②是否存在實(shí)數(shù)， ，使， ， 都屬于？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)， ；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）， （2）①詳見解析，②不存在

【解析】試題分析：（1）數(shù)列遞推關(guān)系式是一個(gè)分段函數(shù)，可通過分段點(diǎn)進(jìn)行連接： ， ， ，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)得，或，從而有（2）①當(dāng)時(shí)，數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列，易得，從而，令，得．問題轉(zhuǎn)化為證明有滿足條件解，易求得②∴ ，問題轉(zhuǎn)化為是否存在三個(gè)不同的整數(shù)（），使得消去a,d得，由于，所以無解

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，

， ， ． 2分

因?yàn)?/span>， ，或，

所以． 4分

（2）①由題意， ， ． 6分

令，得．

因?yàn)?/span>， ，

所以令，則． 8分

②不存在實(shí)數(shù)， ，使， ， 同時(shí)屬于． 9分

假設(shè)存在實(shí)數(shù)， ，使， ， 同時(shí)屬于．

，∴，

從而． 11分

因?yàn)?/span>， ， 同時(shí)屬于，所以存在三個(gè)不同的整數(shù)（），

使得從而

則． 13分

因?yàn)?/span>與互質(zhì)，且與為整數(shù)，

所以，但，矛盾．

所以不存在實(shí)數(shù)， ，使， ， 都屬于． 16分