Question

【題目】已知拋物線： ，定點(diǎn)（常數(shù)）的直線與曲線相交于、兩點(diǎn).

（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求證：

（2）若，以為直徑的圓的位置是否恒過一定點(diǎn)？若存在，求出這個定點(diǎn)，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2））以為直徑的圓恒過定點(diǎn)

【解析】試題分析：（1）要證明∠AED=∠BED，根據(jù)直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，只要證KAE=-KBE即可，討論直線AB的斜率是否存在，設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，即可得證；（2）設(shè)動直線l方程為x=ty+b，表示出B坐標(biāo)，聯(lián)立l與拋物線解析式，消去x得到關(guān)于y的方程，根據(jù)根的判別式等于0得出t與b的關(guān)系式，進(jìn)而設(shè)出A與O的坐標(biāo)，表示出向量AO與向量BO根據(jù)圓周角定理得到兩向量垂直，即數(shù)量積為0，列出關(guān)系式，確定出當(dāng)m=1，n=0時，上式對任意x∈R恒成立，即可得出使得以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)O，以及此時O的坐標(biāo).

試題解析：（1）（a）當(dāng)直線垂直于軸時，根據(jù)拋物線的對稱性有， ；

當(dāng)直線與軸不垂直時，依題意，

可設(shè)直線的方程為（， ）

， ，則、兩點(diǎn)的坐標(biāo)

滿足方程組

消去并整理，得

，

設(shè)直線和的斜率分別為， ，則

，

.

綜合（a）（b）可知.

（2）以為直徑的圓恒過定點(diǎn).提示：證明