Question

【題目】對于數列，若存在，使得對任意都成立，則稱數列為“折疊數列”.

（1）若，，判斷數列，是否是“ 折疊數列”，如果是，指出m的值；如果不是，請說明理由；

（2）若，求所有的實數q，使得數列是3-折疊數列；

（3）給定常數，是否存在數列使得對所有，都是折疊數列，且的各項中恰有個不同的值，證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）是“折疊數列”，不是“折疊數列”，理由見解析；（2）或或；（3）存在，證明見解析.

【解析】

（1）由給的定義進行求解；

（2）根據題中所給定義，列方程討論q的取值可得出結果；

（3）只需列舉出例子即可證明，結合定義，數列的圖象有無數條對稱軸，可聯想三角函數求解.

解：（1）若數列為“ 折疊數列”，則，

所以，

所以，得，

所以為“ 折疊數列”， ；

若數列是“ 折疊數列，則，

所以，得，

所以數列不是“ 折疊數列；

（2）要使通項公式為的數列是3-折疊數列，只需，

當時， ，顯然成立，

當時，由，得，，（），

所以或，

綜上，或；

（3）對給定的，都是折疊數列，故有多條對稱軸，其中都是數列的對稱軸，設，由（）得對稱軸為，且的周期為，

滿足給定常數，使得對所有，都是折疊數列，是周期函數，周期為，在這個周期內，為對稱軸，故對應函數值的個數與對應的函數值個數相等，即時，

所以在上單調遞增，

因為，所以各項中共有個不同的值，

綜上，給定常數，存在數列，使得對所有，都是折疊數列，且的各項中恰有個不同的值