Question

【題目】如圖1，在邊長為2的菱形中，，將沿對角線折起到的位置，使平面平面，是的中點，平面，且，如圖2.

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成角的余弦值；

（3）在線段上是否存在一點，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）線段上不存點，使得平面.見解析

【解析】

（1）平面平面，由面面垂直的性質定理，可證，得出，即可得證結論；

（2）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，即可求解；

（3）利用共線向量，將用坐標表示，根據平面法向量與平面，即可求出結論.

（1）證明：∵，為的中點，∴.

又平面平面，且平面平面，

∴.∵平面，∴，

而平面，平面，∴平面.

（2）解：以所在直線為軸，所在直線為軸，

所在直線為軸建立空間直角坐標系，

如圖所示：則，，，

，，

∴，，

設平面的一個法向量為，

則，

取，則.

又平面的一個法向量為，

∴.

則平面與平面所成角的余弦值為.

（3）解：假設在線段上存在，使得平面，

設，則，

∴，，.而.

由，可知不存在，

∴線段上不存點，使得平面.