Question

設函數f(x)＝ln x－p(x－1)，p∈R.
(1)當p＝1時，求函數f(x)的單調區間；
(2)設函數g(x)＝xf(x)＋p(2x²－x－1)(x≥1)，求證：當p≤－時，有g(x)≤0.

Answer 1

（1）f(x)的單調遞增區間為(0,1)，單調遞減區間為(1，＋∞)．
（2）見解析

(1)解：當p＝1時，f(x)＝ln x－x＋1，
其定義域為(0，＋∞)，
∴f′(x)＝－1，
由f′(x)＝－1＞0，得0＜x＜1，
由f′(x)<0，得x>1，
∴f(x)的單調遞增區間為(0,1)，
單調遞減區間為(1，＋∞)．
(2)證明：由函數g(x)＝xf(x)＋p(2x²－x－1)
＝xln x＋p(x²－1)，
得g′(x)＝ln x＋1＋2px.
由(1)知，當p＝1時，f(x)≤f(1)＝0，
即不等式ln x≤x－1成立，
所以當p≤－時，g′(x)＝ln x＋1＋2px≤(x－1)＋1＋2px＝(1＋2p)x≤0，
即g(x)在[1，＋∞)上單調遞減，
從而g(x)≤g(1)＝0滿足題意．