Question

【題目】為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X．

（1）求的分布列；

（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計得分為時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設，．

(i)證明：為等比數列；

(ii)求，并根據的值解釋這種試驗方案的合理性．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（i）見解析；（ii）.

【解析】

（1）首先確定所有可能的取值，再來計算出每個取值對應的概率，從而可得分布列；（2）（i）求解出的取值，可得，從而整理出符合等比數列定義的形式，問題得證；（ii）列出證得的等比數列的通項公式，采用累加的方式，結合和的值可求得；再次利用累加法可求出.

（1）由題意可知所有可能的取值為：，，

；；

則的分布列如下：

（2），

，，

（i）

即

整理可得：

是以為首項，為公比的等比數列

（ii）由（i）知：

，，……，

作和可得：

表示最終認為甲藥更有效的.由計算結果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認為甲藥更有效的概率為，此時得出錯誤結論的概率非常小，說明這種實驗方案合理.