Question

【題目】已知函數f（x）=（ax﹣1）ex（a≠0，e是自然對數的底數）．
（1）若函數f（x）在區間[1，2]上是單調減函數，求實數a的取值范圍；
（2）求函數f（x）的極值；
（3）設函數f（x）圖象上任意一點處的切線為l，求l在x軸上的截距的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）的導函數f'（x）=（ax﹣1+a）ex，

則f'（x）≤0在區間[1，2]上恒成立，且等號不恒成立，

又ex＞0，所以ax﹣1+a≤0在區間[1，2]上恒成立，

記g（x）=ax﹣1+a，只需 ，即 ，解得 且a≠0

（2）解：由f'（x）=（ax﹣1+a）ex=0，得 ，

①當a＜0時，有 ； ，

所以函數f（x）在 單調遞增， 單調遞減，

所以函數f（x）在 取得極大值 ，沒有極小值．

②當a＞0時，有 ； ，

所以函數f（x）在 單調遞減， 單調遞增，

所以函數f（x）在 取得極小值 ，沒有極大值．

綜上可知：當a＜0時，函數f（x）在 取得極大值 ，沒有極小值；

當a＞0時，函數f（x）在 取得極小值 ，沒有極大值

（3）解：設切點為T（t，（at﹣1）et），

則曲線在點T處的切線l方程為y﹣（at﹣1）et=（at﹣1+a）（x﹣t）et，

當 時，切線l的方程為 ，其在x軸上的截距不存在．

當 時，令y=0，得切線l在x軸上的截距為：

= = = = ，…（12分）

當 時， ，

當且僅當 ，即 或 時取等號

當 時， ，

當且僅當 ，即 或 時取等號．

所以切線l在x軸上的截距范圍是

【解析】（1）根據已知可判斷函數極值的情況，先找導數為零的點，再判斷導數為零的點的左、右兩側的導數符號。（2）根據已知函數求極值求f'（x），令f'（x）=0的求出根并列表檢驗f'（x）在f'（x）=0的根的附近兩側的符號進而得到結果。（3）利用已知極值求參數，若函數f(x)在點極值處取得極值，則f'（x）=0，且在該點左右兩側的導數值符號相反。，進而得出切線l在x軸上的截距范圍。
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的最大(小)值與導數(求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)．