Question

定義在D上的函數，如果滿足：存在常數M＞0，對任意x∈D都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數．
（1）試判斷函數f(x)=2sin(x+

π

6

)+3在實數集R上，函數g(x)=x3+

3

x

在[

1

3

，3]上是不是有界函數？若是，請給出證明；若不是，請說出理由．
（2）若已知某質點的運動距離S與時間t的關系為S(t)=

1

4

t4+3lnt-at，要使在t∈[

1

3

，3]上每一時刻的瞬時速度的絕對值都不大于13，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據函數f（x）的最大值和最小值可判斷M的值，進而得到f（x）在R上是有界函數；對于函數g（x）進行求導，令導函數等于0求x的值，然后根據導函數的正負判斷函數的單調性進而得到g（x）在[

1

3

，1]上最大和最小值，然后令M=兩最值絕對值較大的一個，進而可判斷是有界函數．
（2）對函數S（t）進行求導得到瞬時速度，然后令瞬時速度的絕對值都小于等于13在t∈[

1

3

，3]上恒成立，然后轉化為a關于t的關系式a（t），使得a大于等于a（t）的最大值或小于等于a（t）的最小值，進而得到a的范圍．

解答：解：（1）∵函數f(x)=2sin(x+

π

6

)+3在R上的最大值為5，最小值為-1，
存在常數M=5，對任意x∈R都有|f（x）|≤M，∴f（x）在R上是有界函數．
∵g(x)=x3+

3

x

，x∈[1，3]，∴g/(x)=3x2-

3

x2

，
由g/(x)=3x2-

3

x2

=0，得x=1或x=-1
所以g（x）在[

1

3

，1]上單調遞減，g（x）在[1，3]上單調遞增，而g(3)＞g(

1

3

)
∴g（x）在[

1

3

，3]上的最大值為g（3）=28，最小值為g（1）=4
所以存在常數M=28，對任意x∈[

1

3

，3]都有|g（x）|≤M，∴g（x）是[

1

3

，3]上是有界函數．
（2）因為運動方程為S(t)=

1

4

t4+3lnt-at，所以瞬時速度V(t)=S/(t)=t3+

3

t

-a
由當t∈[

1

3

，3]時，|V（t）|≤13恒成立，即|t3+

3

t

-a|≤13對t∈[

1

3

，3]恒成立
即

a≥t3+ 3 t -13 a≤t3+ 3 t +13

對t∈[

1

3

，3]恒成立，由（1）可得15≤a≤17
所以實數a的取值范圍[15，17]

點評：本題主要考查函數的有界性和函數的單調性與其導函數的正負之間的關系．導數是由高等數學下放到高中的新內容，每年必考，要給予重視．