Question

如右圖所示，定義在D上的函數f（x），如果滿足：對?x∈D，常數A，都有f（x）≥A成立，則稱函數f（x）在D上有下界，其中A稱為函數的下界．（提示：圖中的常數A可以是正數，也可以是負數或零）
（1）試判斷函數在（0，+∞）上是否有下界？并說明理由；
（2）已知某質點的運動方程為，要使在t∈[0，+∞）上的每一時刻該質點的瞬時速度是以為下界的函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數在（0，+∞）上有下界32．利用導數求極小值能夠進行判斷．
（2）質點在t∈[0，+∞）上的每一時刻該質點的瞬時速度：，依題意得對?t∈[0，+∞）對?t∈[0，+∞）恒成立．由此能求出實數a的取值范圍．
解答：解：（1）函數在（0，+∞）上有下界32．
理由如下：
∵，
∴，
由=0，
得x=2，或x=-2（舍）
列表：

x	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	極小值	↑

極小值f（2）=8+=32．
∵只有一個極小值，
∴f（x）≥32，
函數在（0，+∞）上有下界32．
（2）質點在t∈[0，+∞）上的每一時刻該質點的瞬時速度：
，
依題意得對?t∈[0，+∞）有；
即：對?t∈[0，+∞）恒成立．
所以  ．
點評：本題考查利用導數求閉區間上函數的最值的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．綜合性強，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．