Question

【題目】在單調遞增數列{an}中，a1=2，a2=4，且a2n﹣1 ， a2n ， a2n+1成等差數列，a2n ， a2n+1 ， a2n+2成等比數列，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）（ⅰ）求證：數列 為等差數列；
（ⅱ）求數列{an}的通項公式．
（Ⅱ）設數列 的前n項和為Sn ， 證明：Sn＞ ，n∈N* ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（ⅰ）證明：因為數列{an}為單調遞增數列，a1=2＞0，所以an＞0（n∈N*）．
由題意得2a2n=a2n﹣1+a2n+1 ， ，
于是 ，
化簡得 ，
所以數列 為等差數列．
（ⅱ）解：因為a3=2a2﹣a1=6， ，
所以數列 的首項為 ，公差為 ，
所以 ，從而 ．
結合 ，可得a2n﹣1=n（n+1）．
因此，當n為偶數時an= ，當n為奇數時an= ．
2）證明：通過（ii）可知 = ．
因為an= ，
所以 ，
∴ +…

= ，
所以Sn＞ ，n∈N*
【解析】（Ⅰ）（ⅰ）通過題意可知2a2n=a2n﹣1+a2n+1、 ，化簡即得結論；（ⅱ）通過計算可知數列 的首項及公差，進而可得結論；（2）通過（ii）、放縮、裂項可知 ＞4（ ﹣ ），進而并項相加即得結論．
【考點精析】掌握等差關系的確定和數列的前n項和是解答本題的根本，需要知道如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個數列就叫做等差數列；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．