Question

對于△ABC，有如下四個命題：
①若sin2A=sin2B，則△ABC為等腰三角形；
②若

a

cos A 2

=

b

cos B 2

=

c

cos C 2

，則△ABC為正三角形；
③若sin2A+sin2B+sin2C＜2，則△ABC為鈍角三角形；
④若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，則△ABC為正三角形；
其中正確的命題是

②④

．

Answer 1

分析：利用三角形中角的范圍，結合正余弦定理及舉特例，逐一核對四個命題即可得到結論．

解答：解：由sin2A=sin2B，則2A=2B，或2A=180°-2B，所以①不正確；
由

a

cos A 2

=

b

cos B 2

=

c

cos C 2

，結合正弦定理有sin

A

2

=sin

B

2

=sin

C

2

，
又A，B，C為三角形內角，所以A=B=C．所以②正確；
取A=30°，B=60°，C=90°，滿足sin2A+sin2B+sin2C＜2，所以③不正確；
若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，
由三角函數的有界性可知三個都是1或者兩個-1一個1
都是1顯然成立，如果兩個-1又不可能，所以命題是三角形為正三角形的充要條件，所以④正確．
故答案為②④．

點評：本題考查了命題的真假判斷，考查了三角形中角的關系及正余弦定理，此題是中檔題．