Question

如圖所示，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝1，∠BAD＝θ，而△BCD是正三角形．

(1)將四邊形ABCD的面積S表示為θ的函數；
(2)求S的最大值及此時θ角的值．

Answer 1

（1）S＝＋sin(θ－)，其中0<θ<π
（2）S取得最大值1＋，此時θ＝＋＝

解：(1)S_△ABD＝×1×1×sinθ＝sinθ，
因為△BDC是正三角形，則S_△BDC＝BD²．
由△ABD及余弦定理，可知BD²＝1²＋1²－2×1×1×cosθ＝2－2cosθ，
于是四邊形ABCD的面積S＝sinθ＋ (2－2cosθ)，
即S＝＋sin(θ－)，其中0<θ<π．
(2)由(1)，知S＝＋sin(θ－)，
由0<θ<π，得－<θ－<，
故當θ－＝時，S取得最大值1＋，此時θ＝＋＝．