Question

已知橢圓C：＝1(a>b>0)，點(diǎn)A、B分別是橢圓C的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，直線AB與圓G：x²＋y²＝(c是橢圓的半焦距)相離，P是直線AB上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓G的兩切線，切點(diǎn)分別為M、N.

(1)若橢圓C經(jīng)過兩點(diǎn)、，求橢圓C的方程；
(2)當(dāng)c為定值時，求證：直線MN經(jīng)過一定點(diǎn)E，并求·的值(O是坐標(biāo)原點(diǎn))；
(3)若存在點(diǎn)P使得△PMN為正三角形，試求橢圓離心率的取值范圍．.

Answer 1

（1）＝1.（2）見解析（3）

(1)解：令橢圓mx²＋ny²＝1，其中m＝，n＝，得所以m＝，n＝，即橢圓方程為＝1.
(2)證明：直線AB：＝1，設(shè)點(diǎn)P(x₀，y₀)，則OP的中點(diǎn)為，所以點(diǎn)O、M、P、N所在的圓的方程為＝，化簡為x²－x₀x＋y²－y₀y＝0，與圓x²＋y²＝作差，即直線MN：x₀x＋y₀y＝.

因?yàn)辄c(diǎn)P(x₀，y₀)在直線AB上，得＝1，
所以x₀＋＝0，即 
得x＝－，y＝，故定點(diǎn)E ，·＝＝.
(3)解：由直線AB與圓G：x²＋y²＝ (c是橢圓的焦半距)相離，則＞，即4a²b²＞c²(a²＋b²)，4a²(a²－c²)＞c²(2a²－c²)，得e⁴－6e²＋4＞0.因?yàn)?＜e＜1，所以0＜e²＜3－　①.連結(jié)ON、OM、OP，若存在點(diǎn)P使△PMN為正三角形，則在Rt△OPN中，OP＝2ON＝2r＝c，所以≤c，a²b²≤c²(a²＋b²)，a²(a²－c²)≤c²(2a²－c²)，得e⁴－3e²＋1≤0.因?yàn)?＜e＜1，所以≤e²＜1，②.由①②得≤e²＜3－，所以