Question

【題目】已知橢圓和直線： ，橢圓的離心率，坐標原點到直線的距離為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知定點，若直線過點且與橢圓相交于兩點，試判斷是否存在直線，使以為直徑的圓過點？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（I）；（II）或.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據橢圓中的 ，以及 ，和點到直線的距離公式計算求得 ；（Ⅱ）分斜率不存在和斜率存在兩種情況討論，當斜率存在時，設直線為 與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系計算 ，從而求得斜率 和直線方程.

試題解析：（Ⅰ）由直線，∴，即——①

又由，得，即，又∵，∴——②

將②代入①得，即，∴， ， ，

∴所求橢圓方程是；

（Ⅱ）①當直線的斜率不存在時，直線方程為，

則直線與橢圓的交點為，又∵，

∴，即以為直徑的圓過點；

②當直線的斜率存在時，設直線方程為， ， ，

由，得，

由，得或，

∴， ，

∴

∵以為直徑的圓過點，∴，即，

由， ，

得，∴，

∴，解得，即；

綜上所述，當以為直徑的圓過定點時，直線的方程為或.