Question

【題目】已知橢圓C的中心在原點，離心率等于 ，它的一個短軸端點恰好是拋物線x2=8 y的焦點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知P（2，m）、Q（2，﹣m）（m＞0）是橢圓上的兩點，A，B是橢圓上位于直線PQ兩側的動點，
①若直線AB的斜率為 ，求四邊形APBQ面積的最大值；
②當A、B運動時，滿足∠APQ=∠BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設C方程為 ，則 ，

由 ，a2=b2+c2，得a=4，

∴橢圓C的方程為

（2）解：①設A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為 ，

代入 ，得x2+tx+t2﹣12=0，

由△＞0，解得﹣4＜t＜4，

由韋達定理得x1+x2=﹣t， ．

∴ ，

由此可得：四邊形APBQ的面積 ，

∴當t=0， ．

②當∠APQ=∠BPQ，則PA、PB的斜率之和為0，設直線PA的斜率為k，則PB的斜率為﹣k，直線PA的直線方程為y﹣3=k（x﹣2），

由 整理得（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48=0，

∴ ，

同理直線PB的直線方程為y﹣3=﹣k（x﹣2），

可得

∴ ， ， ，

所以直線AB的斜率為定值

【解析】（1）設C方程為 ，則 ，由 ，a2=b2+c2 ， 解出即可得出．（2）①設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），直線AB的方程為 ，代入 ，得x2+tx+t2﹣12=0，
由△＞0，解得t范圍，利用根與系數的關系可得|x1﹣x2|，由此可得：四邊形APBQ的面積S．
②當∠APQ=∠BPQ，則PA、PB的斜率之和為0，設直線PA的斜率為k，則PB的斜率為﹣k，直線PA的直線方程為y﹣3=k（x﹣2），代入橢圓方程可得（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48=0，同理直線PB的直線方程為y﹣3=﹣k（x﹣2），利用根與系數的關系、斜率計算公式即可得出．