Question

下列命題：
（1）若函數(shù)f（x）=lg（x+

x2+a

），為奇函數(shù)，則a=1；
（2）函數(shù)f（x）=|sinx|的周期T=π；
（3）已知

a

=(sinθ，

1+cosθ

)，

b

=(1，

1-cosθ

)，其中θ∈（π，

3π

2

），則

a

⊥

b

（4）在△ABC中，

BA

=a，

AC

=b，若a•b＜0，則△ABC是鈍角三角形
（ 5）O是△ABC所在平面上一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：

OP

=

OA

+λ(

AB

sinC

+

AC

sinB

)，λ∈（0，+∞），則直線AP一定通過(guò)△ABC的內(nèi)心．
以上命題為真命題的是

（1）（2）（3）（5）

．

Answer 1

分析：（1）若函數(shù)f（x）=lg（x+

x2+a

）為奇函數(shù)，則f（0）=0，則此能求出a的值；
（2）由正弦函數(shù)的圖象知函數(shù)能求出f（x）的周期；
（3）寫出兩個(gè)向量的數(shù)量積，運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式整理即可得到結(jié)論；
（4）在△ABC中，

BA

=

a

，

AC

=

b

，

a

•

b

＜0，則∠BAC是銳角，由此無(wú)法判斷△ABC一定是鈍角三角形；
（5）把給出等式中的角的正弦值用對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)和外接圓半徑表示，移向整理后得

AP

=2Rλ（

AB

| AB |

+

AC

| AC |

），由此式可知直線AP一定通過(guò)△ABC的內(nèi)心．

解答：解：若函數(shù)f（x）=lg（x+

x2+a

）為奇函數(shù)，
則f（0）=lg（0+

0+a

）=lg

a

=0，解得a=1，故（1）成立；
由正弦函數(shù)的圖象知函數(shù)f（x）=|sinx|的周期T=π，故（2）成立；
∵

a

=(sinθ，

1+cosθ

)，

b

=(1，

1-cosθ

)，其中θ∈（π，

3π

2

），
∴

a

•

b

=sinθ+

1-cos2θ

=sinθ-sinθ=0，
∴

a

⊥

b

，故（3）成立；
在△ABC中，

BA

=

a

，

AC

=

b

，

a

•

b

＜0，
則∠BAC是銳角，△ABC不一定是鈍角三角形，故（4）不成立；
如圖，

在△ABC中，由

| AB |

sinC

=

| AC |

sinB

=2R（R為三角形ABC外接圓半徑），
所以sinC=

| AB |

2R

，sinB=

| AC |

2R

，
所以

OP

=

OA

+λ（

AB

sinC

+

AC

sinB

）=

OA

+λ（

2R AB

| AB |

+

2R AC

| AC |

）=

OA

+2Rλ（

AB

| AB |

+

AC

| AC |

），
即

AP

=2Rλ（

AB

| AB |

+

AC

| AC |

），
所以直線AP一定通過(guò)△ABC的內(nèi)心．故（5）正確．
故答案為：（1）（2）（3）（5）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假的判斷與運(yùn)用，是中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意奇函數(shù)、向量的數(shù)量積、三角函數(shù)、正弦定理等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．