Question

【題目】已知函數(shù) （a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），，其中在x=0處的切線方程為y=bx.

（1）求a，b的值；

（2）求證：；

（3）求證：有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1），；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）求導(dǎo)得到，，，解得答案.

（2）先證明，，再證明，得到，得到答案.

（3）求導(dǎo)得到，確定導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，故存在使，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，根據(jù)零點(diǎn)存在定理得到答案.

（1），，

故，，故，.

（2）先證明，設(shè)，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，故，故恒成立.

再證明，設(shè)，則，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，

故.

故，

，

當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，易知，

函數(shù)為偶函數(shù)，故恒成立，故.

故，得證.

（3），則，

，恒成立，

故單調(diào)遞增，，，

故存在使，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

，當(dāng)時(shí)，，

故函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，在上有唯一零點(diǎn)，故有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).