Question

【題目】已知函數f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數，且f（1）=1，若x，y∈[﹣1，1]，x+y≠0有（x+y）[f（x）+f（y）]＞0．
（1）判斷f（x）的單調性，并加以證明；
（2）解不等式 ；
（3）若f（x）≤m2﹣2am+1對所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立．求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）在[﹣1，1]上單調增，證明如下

由題意，設x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2

則x1﹣x2＜0

∵x，y∈[﹣1，1]，x+y≠0有（x+y）[f（x）+f（y）]＞0．

令x=x1，y=﹣x2，

∴f（x1）+f（﹣x2）＜0

∵函數f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數

∴f（x1）﹣f（x2）＜0

∴函數f（x）在[﹣1，1]上單調增

（2）解：由（1）知， ，解得：
（3）解：由于函數f（x）在[﹣1，1]上單調增，

∴函數f（x）在[﹣1，1]上的最大值為f（1）=1

∴f（x）≤m2﹣2am+1對所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立可轉化為：0≤m2﹣2am對所有a∈[﹣1，1]恒成立

∴ ，

解得m≥2或m≤﹣2或m=0

【解析】（1）設x1 ， x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2 ， 則x1﹣x2＜0，利用x，y∈[﹣1，1]，x+y≠0有（x+y）[f（x）+f（y）]＞0，可得f（x1）+f（﹣x2）＜0，根據函數f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數，即可得函數f（x）在[﹣1，1]上單調增；（2）由（1）知， ，解之即可；（3）先確定函數f（x）在[﹣1，1]上的最大值為f（1）=1，將f（x）≤m2﹣2am+1對所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立轉化為：0≤m2﹣2am對所有a∈[﹣1，1]恒成立，從而可求實數m的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解奇偶性與單調性的綜合的相關知識，掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性．