Question

已知直線l:kx-y+1+2k=0(k∈R)
(1)證明：直線l過定點；
(2)若直線l不經過第四象限，求k的取值范圍；
(3)若直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，O為坐標原點，設△AOB的面積為S，求S的最小值及此時直線l的方程．

Answer 1

（1）l過定點，(-2,1)；(2)k∈[0,)；（3）S的最小值為4，此時l方程為：x-2y+4=0.

解析試題分析：（1）將直線l方程化為點斜式得：y-1=k(x+2),可知其恒過定點（-2，1）；(2)畫草圖可知：由于直線l恒過定點（-2，1），所以直線l不經過第四象限必須且只需即可；（3）直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，則知k>0,且可用k將A，B兩點坐標表示出來，從而就可將△AOB的面積為S表示成為k的函數，然后求此函數的最小值即可．
試題解析：（1）因為直線l:kx-y+1+2k=0(K∈R) y-1=k(x+2)，所以直線l過定點(-2,1)；
(2)由于直線l恒過定點（-2，1），畫出圖形，知要使直線l不經過第四象限必須且只需，故k∈[0,)；

（3）由直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B知：k>0,由直線l:kx-y+1+2k=0中，令則，再令，則，所以有：
（當且僅當時，取等號），所以，S的最小值為4，此時l方程為：x-2y+4=0.
考點：1.直線方程;2.基本不等式.