Question

【題目】設且恒成立．

（1）求實數的值；

（2）證明： 存在唯一的極大值點，且．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】試題分析：（1）將問題轉化為恒成立的問題處理，分 和兩種情況判斷即可；（2）由（1）得，故問題可轉化為有零點的問題，并進一步得到存在唯一的極大值點。然后根據函數的單調性可證得。

試題解析：

（1）解：由條件知恒成立，

∵，

∴恒成立，

令，則恒成立，

∴，

①當時， 在上單調遞增，

又，

∴當時， ,與矛盾，不合題意。

②當時， 在單調遞減，在單調遞增，

∴ 當時， 有極小值，也為最小值，且最小值為。

又恒成立，

∴ ，

令

則，

∴在單調遞增，在單調遞減，而，

所以由解得，

綜上．

（2）由條件得，

令，

所以在單調遞減，在單調遞增

又，

∴ ，

由零點存在定理及的單調性知，方程在有唯一根，設為且，

從而有兩個零點和0，

所以在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增，

從而存在唯一的極大值點，

由得，

∴

，等號不成立，所以，

又在單調遞增，

所以，

綜上可得成立．