Question

已知,
設.
(Ⅰ)求的表達式；
(Ⅱ)若函數和函數的圖象關于原點對稱，
（ⅰ）求函數的解析式；
（ⅱ）若函數在區間上是增函數，求實數l的取值范圍.

Answer 1

Ⅰ)；（Ⅱ）函數的解析式為= -sin²x+2sinx ；
（Ⅲ）。

試題分析：（Ⅰ)
   4分
（Ⅱ）設函數的圖象上任一點關于原點的對稱點為
則,  .5分
∵點在函數的圖象上
,即
∴函數的解析式為= -sin²x+2sinx      7分
（Ⅲ）
設   9分
則有
當時，(t)=4t+1在[-1,1]上是增函數，∴λ= -1   11分
當時，對稱軸方程為直線.
ⅰ) 時，，解得
ⅱ)當時，,解得
綜上:.
實數l的取值范圍為  14分
點評：典型題，為研究三角函數的圖象和性質，往往需要將函數“化一”，這是常考題型。首先運用“三角公式”進行化簡，為進一步解題奠定了基礎。（3）小題利用“換元思想”，轉化成二次函數在閉區間的單調性研究問題，根據圖象對稱軸受到的限制，求得實數l的取值范圍。