Question

【題目】某高中組織數學知識競賽，采取答題闖關的形式，分兩種題型，每種題型設兩關．“數學文化”題答對一道得5分，“數學應用”題答對一道得10分，答對一道題即可進入下一關，否則終止比賽．有甲、乙、丙三人前來參賽，設三人答對每道題的概率分別是 、 、 ，三人答題互不影響．甲、乙選擇“數學文化”題，丙選擇“數學應用”題．
（Ⅰ）求乙、丙兩人所得分數相等的概率；
（Ⅱ）設甲、丙兩人所得分數之和為隨機變量X，求X的分布列與期望．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）乙、丙所得分數相等時，應為0分或10分，

其概率為P=（1﹣ ）×（1﹣ ）+ × × ×（1﹣ ）= ；

（Ⅱ）設甲、丙兩人所得分數之和為隨機變量X，則X的可能取值為0，5，10，15，20，25，30，

其概率為P（X=0）=（1﹣ ）×（1﹣ ）= ，

P（X=5）= ×（1﹣ ）×（1﹣ ）= ，

P（X=10）= × ×（1﹣ ）+（1﹣ ）× ×（1﹣ ）= ，

P（X=15）= × ×（1﹣ ）×（1﹣ ）= ，

P（X=20）= × × ×（1﹣ ）+（1﹣ ）× × = ，

P（X=25）= ×（1﹣ ）× = ，

P（X=30）= × × = ；

∴X的分布列為：

X	0	5	10	15	20	25	30
P

數學期望為EX=0× +5× +10× +15× +20× +25× +30× =

【解析】（Ⅰ）乙、丙所得分數相等時，應為0分或10分，計算對應的概率值即可；（Ⅱ）根據題意，X的可能取值為0，5，10，15，20，25，30，求出對應的概率值，寫出X的分布列，再計算數學期望值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解離散型隨機變量及其分布列的相關知識，掌握在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．