Question

【題目】已知函數f（x）= （p﹣2）x2+（2q﹣8）x+1（p＞2，q＞0）．
（1）當p=q=3時，求使f（x）≥1的x的取值范圍；
（2）若f（x）在區間[ ，2]上單調遞減，求pq的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知f（x）= x2﹣2x+1，

由f（x）≥1得： x2﹣2x+1≥1，解之得x≤0或x≥4，

所以使f（x）≥1的x的取值范圍是{x|x≤0或x≥4}；

（2）解：當p＞2時，f（x）圖象的開口向上，

要使f（x）在區間[ ，2]上單調遞減，須有﹣ ≥2，

得p+q≤6，由p＞0，q＞0知p+q≥2 ，所以2 ≤6，得 pq≤9，

當p=q=3時，pq=9，

所以，pq的最大值為9

【解析】（1）問題轉化為解不等式 x2﹣2x+1≥1，解出即可；（2）得到﹣ ≥2，即p+q≤6，由p＞0，q＞0，結合基本不等式的性質求出pq的最大值即可．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值即可以解答此題．