Question

（2013•鐵嶺模擬）已知四邊形ABCD滿足AD∥BC，BA=AD=DC=

1

2

BC=a，E是BC的中點，將△BAE沿著AE翻折成△B₁AE，使面B₁AE⊥面AECD，F為B₁D的中點．
（Ⅰ）求四棱B₁-AECD的體積；
（Ⅱ）證明：B₁E∥面ACF；
（Ⅲ）求面ADB₁與面ECB₁所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AE的中點M，連接B₁M，證明B₁M⊥面AECD，從而可求四棱B₁-AECD的體積；
（Ⅱ）證明B₁E∥面ACF，利用線面平行的判定定理，證明FO∥B₁E即可；
（Ⅲ）連接MD，分別以ME，MD，MB₁為x，y，z軸建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，求出面ECB₁與面ADB₁的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得二面角的余弦值．

解答：（Ⅰ）解：取AE的中點M，連接B₁M，因為BA=AD=DC=

1

2

BC=a，E是BC的中點，
所以△ABE為等邊三角形，所以B1M=

3

2

a，
又因為面B₁AE⊥面AECD，所以B₁M⊥面AECD，…（2分）
所以V=

1

3

×

3

2

a×a×a×sin

π

3

=

a3

4

…（4分）
（Ⅱ）證明：連接ED交AC于O，連接OF，因為AECD為菱形，OE=OD，
又F為B₁D的中點，所以FO∥B₁E，
因為FO?面ACF
所以B₁E∥面ACF…（7分）
（Ⅲ）解：連接MD，分別以ME，MD，MB₁為x，y，z軸，建立空間直角坐標系．
則E(

a

2

，0，0)，C(a，

3

2

a，0)，A(-

a

2

，0，0)，D(0，

3

2

a，0)，B1(0，0，

3

2

a)

EC

=(

a

2

，

3 a

2

，0)，

EB1

=(-

a

2

，0，

3 a

2

)，

AD

=(

a

2

，

3 a

2

，0)，

AB1

=(

a

2

，0，

3 a

2

)…（9分）
設面ECB₁的法向量

v

=(x′，y′，z′)，則

a 2 x′+ 3 2 ay′=0 - a 2 x′+ 3 2 az′=0

，
令x'=1，則

u

=(1，-

3

3

，

3

3

)
設面ADB₁的法向量為

u

=(x，y，z)，則

a 2 x+ 3 2 ay=0 a 2 x+ 3 2 az=0

，
令x=1，則

v

=(1，-

3

3

，-

3

3

)…（11分）
則cos＜

u

，

v

＞=

1+ 1 3 - 1 3

1+ 1 3 + 1 3 × 1+ 1 3 + 1 3

=

3

5

，
所以二面角的余弦值為

3

5

…（12分）

點評：本題考查三棱錐的體積，考查線面平行，考查面面角，解題的關鍵是掌握線面平行的判定方法，利用空間向量解決面面角問題．