Question

【題目】已知集合A={a1 ， a2 ， …，an}，ai∈R，i=1，2，…，n，并且n≥2． 定義 （例如： ）．
（Ⅰ）若A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，M={1，2，3，4，5}，集合A的子集N滿足：N≠M，且T（M）=T（N），求出一個符合條件的N；
（Ⅱ）對于任意給定的常數C以及給定的集合A={a1 ， a2 ， …，an}，求證：存在集合B={b1 ， b2 ， …，bn}，使得T（B）=T（A），且 ．
（Ⅲ）已知集合A={a1 ， a2 ， …，a2m}滿足：ai＜ai+1 ， i=1，2，…，2m﹣1，m≥2，a1=a，a2m=b，其中a，b∈R為給定的常數，求T（A）的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）N={6，7，8，9，10}．
（Ⅱ）證明：令B={d+a1 ， d+a2 ， …，d+an}，（d為待定參數）．
T（B）= |（d+ai）﹣（d+aj）|= |aj﹣ai|=T（A）， =nd+ =c，
取d= 即可．
（Ⅲ）下面利用數學歸納法證明 |aj﹣ai|= （2m+1﹣2k）（a2m+1﹣2k﹣ak），
當m=2時， |aj﹣ai|=|a4﹣a3|+|a3﹣a2|+|a2﹣a1|+|a4﹣a2|+|a3﹣a1|+|a4﹣a1|=3（a4﹣a1）+（|a3﹣a2）．成立．
假設結論對m時成立，下面證明m+1時的情形．
|aj﹣ai|= |aj﹣ai|+| （a2m+1﹣ai）+ （a2m+2﹣ai）
= （2m+1﹣2k）（a2m+1﹣k﹣ak）+ （a2m+1﹣ai）+ （a2m+2﹣ai）
= （2m+1﹣2k）（a2m+1﹣k﹣ak）+（2m﹣1）a2m+1+（2m+1）a2m+2﹣2 ai ，
= （2m+3﹣2k）（a2m+3﹣k﹣ak），
即T（A）＜ （2m+1﹣2k）（a2m﹣2k﹣ak）=m2（b﹣a）
【解析】（Ⅰ）根據新定義即可求出答案，（Ⅱ）夠造新數列B={d+a1 ， d+a2 ， …，d+an}，根據新定義可得取d= 即可證明．（Ⅲ）利用數學歸納法即可證明．